十二平均律,十二平均律是谁发明的

十二平均律,十二平均律是谁发明的,写给理工科人看的乐理(二)十二平均律与五线谱

 

在第一讲中我们已经提到了纯八度(中央do和高音do),想必朋友们已经用耳朵有了感性的认识,并知道纯八度的拍音是由频率比为1:2的两个单音构成。物理和数学的原因决定了纯八度的两个单音的频率比例,但这远远不足以构成音乐的,接下来我们就要学习如何在这两个单音之间产生更多的单音。在展开这些知识之前,本着理工科追本溯源的精神,我们先了解一下乐理是如何发展起来的,然后再谈理论。

 

一、乐理发展史 · 之一

人类的三大类乐器类别:弦乐,管乐和打击乐有其分别的来源,但音律系统则基本上是从音调变化最丰富的弦乐上发展起来的。弦乐就是利用琴弦的振动发出声音,琴弦振动部分的长短、粗细、质量、密度等因素综合决定了它振动的频率。一般来讲两根同质琴弦的长度比等于它们所发出声音频率的反比,这成为了制定音律标准的最佳性质。

 小提琴琴弦的振动(慢镜头)

要使不同的音组合在一起形成音乐,必须定出这些音的相对音高,并将悦耳动听的音进行组合;此外还要定出绝对音高,使同一首音乐到哪里演奏都有相同的效果。因此早期的人们以一根固定长度的琴弦为准,将其作为标准音高,然后用各种不同的比例切分这根琴弦,从而得到了多种不同的音高。这些音律的具体制定过程我们留到后文再行说明。

为了便于记录和表达这些音高,人们发展出了表示相对音高的十二平均律系统和表示绝对音高的五线谱系统。这些音律系统历经上千年的变革与改进,并随着数学水平的发展不断提高而趋于稳定,最终形成如今庞大而复杂的理论体系。后文的相关内容也是围绕相对音高和绝对音高两大系统展开的。

目前世界上最通用的音律体系——十二平均律的历史非常悠久,最早可以追溯到公元400年左右的中国人何承天。公元16世纪的明朝人的朱载堉(朱元璋的九世孙)将十二平均律发展为完整的理论水平,到16世纪末,由当时教皇国的传教士利玛窦将十二平均律法从中国带回西方,直到17世纪才开始在欧洲大陆广泛流传。中国人发明了十二平均律,但中国文明自清朝开始的衰落,使得中国古典音乐的理论水平与西方音乐的差距越来越大,直到没落于下里巴人。

图1 明代朱载堉的《乐律全书》中对十二平均律的记载

当西方有了十二平均律这一黄金律法,新的和声理论、自然调式(念“Diao Shi”,不念Debug)和各种相关调性也就随之产生了,而这些系统则几乎全是由西方发展出来的。我们目前听到的所有古典音乐和现代音乐(包括流行、摇滚、歌舞剧)都是基于西方的音乐理论。

西方古典音乐(维基百科)可以说发源于文艺复兴时期(1400年到1600年),在文艺复兴时期结束时,音乐艺术已经有了长足的发展。人们获得了改进的和新发明的各种乐器, 比如新式的小提琴、羽管键琴(也叫大键琴,是钢琴的前身)、双簧管(尚未从萧姆管中完全脱胎)等等。还得到了新的演奏和作曲技法,比如更复杂的和声技巧,对位法技巧等等。当然,还有最重要的东西:五线谱。在文艺复兴时期之后的巴洛克时期,这些新玩意帮助音乐家们进一步的挖掘音乐理论层面的东西,现代乐理就是在这一时期逐步发展完善的。

图2 一台巴洛克时期的羽管键琴

西方音乐长期以来都是为教会服务的,西方宗教也非常重视音乐艺术的发展。音乐课是教会学校的主要课程,很多音乐理论也都来自于教会音乐家。当时的调式系统称作“古教会调式体系”,一共有12种,现在只有少数仍在使用,包括对应自然大调的“伊奥尼亚”调式和对应自然小调的“爱奥尼亚”调式。关于调式与调性的知识,会在后面的内容中做进一步介绍。

历史课就暂时上到这里,下面我们开始分别介绍十二平均律和五线谱。

 

二、十二平均律

十二平均律(维基百科)是音乐中最底层的系统,规定了两个单音的相对音高,就像计算机中的二进制系统规定了各种运算方式一样。简单来讲,十二平均律体系将一个“纯八度”(暂不理会为什么叫做“纯八度”)分成12份,每份称为1个半音,两份为1个全音,以此定出所有中间的单音。现在我们有了好几个需要定义的名词,下面将是一大堆严谨的数学定义,但是作为理工科人的我们还怕这些吗?

为了表示相对音高,首先要给出音程的概念:音程就是两个音之间的频率差距,用音数来衡量。频率不同则音不同,而从数学上讲频率是连续的,因此音也是连续不可数的。但是十二平均律系统规定了离散的音的产生方法,这样我们就可以“数出”音程了。

上节课我们已经学到频率比为1:2的两个单音之间的音程被定义为“纯八度”,例如某个单音的频率为f,那么它与频率为2f的另一个单音之间就构成了一个“纯八度”音程。按照十二平均律系统,我们可以以f为基准音,在区间[f,2f]内得到13个不同的单音,它们的频率分别为:\(f\times 2^\frac{1}{12}\),\(f\times 2^\frac{2}{12}\),…,\(f\times 2^\frac{11}{12}\),f可以视为\(f\times 2^\frac{0}{12}\),2f可以视为\(f\times 2^\frac{12}{12}\)。如果将f设定为440Hz,从f到2f这13个单音的频率就可以用前述公式算出,把它们画在坐标系中如图3所示。

图3 440Hz到880Hz的“纯八度”音程中的13个单音

注意每两个相邻的单音之间是等比关系,比例是\(\sqrt[12]{2}\),因此它们所构成的是一条指数曲线。根据上述方法,给定任意基准频率f,我们都可以在区间[f,2f]中构造出13个单音。十二平均律系统规定任两个相邻的音之间的音数为0.5,那么给定两个音的音程为t(即两音之间相隔的音的数量*0.5)和较低的一个音的频率为\(f_a\),我们就可以算得较高那个音的频率\(f_b\):\(f_b=f_a\times 2^{2t/12}=f_a\times2^{t/6}\)。13个单音之间不同的音程一共只有12种,人们给它们都起了名字:

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